Resolva a equação do calor numa barra de alumínio ( \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s} )
\begin{aligned} & u_{t}=0,97 u_{x x} \\\ & u(0, t)=10 \\\ & u(4 \pi, t)=50 \\\ & u(x, 0)=50 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
u_{t} = 0,97\,u_{xx},
com condições de contorno não homogêneas
u(0,t)=10,\quad u(4\pi,t)=50
e condição inicial
u(x,0)=50.
O conteúdo usado será separar a solução em parte estacionária (steady state) e parte transitória, aplicando séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Procuramos a solução estacionária \varphi(x) que satisfaz
\varphi''(x)=0,\qquad \varphi(0)=10,\quad \varphi(4\pi)=50.
Da equação \varphi''=0 segue \varphi(x)=A\,x+B. As condições de contorno dão
B=\varphi(0)=10,
A\cdot4\pi+10=\varphi(4\pi)=50\\ \Longrightarrow\\ A=\frac{40}{4\pi}=\frac{10}{\pi}.
Logo
\varphi(x)=\frac{10}{\pi}\,x + 10.

Passo 3

Definimos a parte transitória
v(x,t)=u(x,t)-\varphi(x).
Então
v_{t}=u_{t}-0 = 0,97\,u_{xx}-0,97\,\varphi''(x)=0,97\,v_{xx},
e as condições de contorno passam a ser homogêneas
v(0,t)=u(0,t)-\varphi(0)=10-10=0,\quad v(4\pi,t)=50-50=0,
enquanto a condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-\varphi(x)=50-\Bigl(\tfrac{10}{\pi}x+10\Bigr)=40-\frac{10}{\pi}\,x.

Passo 4

Para 0<x<4\pi a solução de v_{t}=0,97\,v_{xx} com v(0,t)=v(4\pi,t)=0 escreve-se como série de autovalores
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\exp\bigl[-0,97\,\lambda_{n}^{2}t\bigr]\, \sin\!\bigl(\lambda_{n}x\bigr),
onde o comprimento L=4\pi
\lambda_{n}=\frac{n\pi}{L}=\frac{n\pi}{4\pi}=\frac{n}{4},
isto é
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\exp\Bigl(-0,97\,\frac{n^{2}}{16}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\,x}{4}\Bigr).

Passo 5

Os coeficientes B_{n} vêm da série de Fourier senoidal para v(x,0):
B_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\Bigl(40-\tfrac{10}{\pi}x\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{4\pi}\Bigl(40-\tfrac{10}{\pi}x\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\,x}{4}\Bigr)\,dx.
Calculando separadamente as integrais e simplificando, obtém-se
B_{n}=\frac{80}{\pi\,n}.

Passo 6

Reunindo, a parte transitória é
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{80}{\pi\,n}\, \exp\Bigl(-0,97\,\frac{n^{2}}{16}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\,x}{4}\Bigr),
e a solução completa
u(x,t)=\varphi(x)+v(x,t) =\frac{10}{\pi}\,x + 10 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{80}{\pi\,n}\, \exp\Bigl(-0,97\,\frac{n^{2}}{16}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\,x}{4}\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\;10+\frac{10}{\pi}\,x +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{80}{\pi\,n}\, \exp\!\Bigl(-0,97\,\tfrac{n^{2}}{16}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\,x}{4}\Bigr).

Exercícios relacionados