Resolva a equação do calor numa barra de alumínio (
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
com condições de contorno não homogêneas
e condição inicial
O conteúdo usado será separar a solução em parte estacionária (steady state) e parte transitória, aplicando séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Procuramos a solução estacionária
que satisfaz
Da equação
segue
. As condições de contorno dão
Logo
Passo 3
Definimos a parte transitória
Então
e as condições de contorno passam a ser homogêneas
enquanto a condição inicial fica
Passo 4
Para
a solução de
com
escreve-se como série de autovalores
onde o comprimento
dá
isto é
Passo 5
Os coeficientes
vêm da série de Fourier senoidal para
:
Calculando separadamente as integrais e simplificando, obtém-se
Passo 6
Reunindo, a parte transitória é
e a solução completa