Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
y z=\ln (x+z), (0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície implícita
yz=\ln(x+z)
no ponto (0,0,1). O conteúdo é derivadas parciais e gradiente de funções de três variáveis, que nos fornece a normal à superfície.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=y\,z-\ln(x+z)
e calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=-\frac{1}{x+z},\quad \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=z,\quad \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=y-\frac{1}{x+z}.

Passo 3

Em (0,0,1) temos x+z=1, y=0, z=1. Logo
F_x(0,0,1)=-1,\quad F_y(0,0,1)=1,\quad F_z(0,0,1)=-1.
O vetor normal é \nabla F(0,0,1)=(-1,1,-1).

Passo 4

A equação do plano tangente vem de
F_x(0,0,1)\,(x-0)+F_y(0,0,1)\,(y-0)+F_z(0,0,1)\,(z-1)=0,
isto é,
-1\cdot x + 1\cdot y -1\cdot(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; x - y + z = 1.

Passo 5

A reta normal passa por (0,0,1) na direção (-1,1,-1). Sua forma paramétrica é
x=-t,\quad y=t,\quad z=1 - t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) x - y + z = 1
(b) \displaystyle (x,y,z)=(0,0,1)+t\,(-1,1,-1), t\in\mathbb{R}.

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