(2.5 pontos) Seja D a região limitada pelas retas \mathrm{y}=-\frac{x}{3}, \mathrm{y}=\mathrm{x}-4 \mathrm{e} \mathrm{y}=-\mathrm{x}. Calcule a integral dupla
\iint_{D} \cos \left(\frac{y-x}{4}\right)^{2} d x d y .
onde D é o triângulo limitado pelas retas \;y=-\tfrac{x}{3},\;y=x-4 e y=-x.
Vamos usar uma mudança de variáveis linear que torne as fronteiras constantes e facilite a integração.
Passo 2
Encontramos os vértices de D resolvendo pares de retas:
y=-\tfrac{x}{3} e y=x-4\quad \Longrightarrow x=3,\;y=-1.
y=-\tfrac{x}{3} e y=-x\quad \Longrightarrow x=0,\;y=0.
y=x-4 e y=-x\quad \Longrightarrow x=2,\;y=-2.
Logo D tem vértices (0,0), (3,-1) e (2,-2).