(2.5 pontos) Seja D a região limitada pelas retas \mathrm{y}=-\frac{x}{3}, \mathrm{y}=\mathrm{x}-4 \mathrm{e} \mathrm{y}=-\mathrm{x}. Calcule a integral dupla
\iint_{D} \cos \left(\frac{y-x}{4}\right)^{2} d x d y .

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{D}\cos\Bigl(\frac{y-x}{4}\Bigr)^{2}\,dx\,dy
onde D é o triângulo limitado pelas retas
\;y=-\tfrac{x}{3},\;y=x-4 e y=-x.
Vamos usar uma mudança de variáveis linear que torne as fronteiras constantes e facilite a integração.

Passo 2

Encontramos os vértices de D resolvendo pares de retas:
  1. y=-\tfrac{x}{3} e y=x-4\quad \Longrightarrow x=3,\;y=-1.
  2. y=-\tfrac{x}{3} e y=-x\quad \Longrightarrow x=0,\;y=0.
  3. y=x-4 e y=-x\quad \Longrightarrow x=2,\;y=-2.
    Logo D tem vértices (0,0), (3,-1) e (2,-2).

Passo 3

Definimos
u=\frac{y-x}{4},\quad t=3y+x.
Invertendo,
x=\frac{t-12u}{4},\quad y=\frac{t}{4}+u,
e o Jacobiano é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,t)} =\det\begin{pmatrix}-3&\tfrac14\\[6pt]1&\tfrac14\end{pmatrix}=-1,
portanto \bigl|J\bigr|=1.
Em (u,t), os vértices viram
(0,0)\mapsto(0,0),
(3,-1)\mapsto(u,t)=(-1,0),
(2,-2)\mapsto(u,t)=(-1,-4).]

Passo 4

No novo domínio, u varia de -1 a 0 e, para cada u, t varia de 4u até 0.
A integral fica
\iint_{D}\cos\Bigl(\frac{y-x}{4}\Bigr)^{2}dx\,dy =\int_{u=-1}^{0}\!\!\int_{t=4u}^{0}\cos^{2}(u)\,dt\,du =\int_{-1}^{0}\bigl(0-4u\bigr)\cos^{2}(u)\,du =-4\int_{-1}^{0}u\cos^{2}(u)\,du.

Passo 5

Usamos \cos^{2}(u)=\tfrac{1+\cos(2u)}2:
-4\int_{-1}^{0}u\cos^{2}(u)\,du =-2\int_{-1}^{0}u\bigl(1+\cos(2u)\bigr)\,du =-2\Bigl[\underbrace{\int_{-1}^{0}u\,du}_{=-\tfrac12} +\underbrace{\int_{-1}^{0}u\cos(2u)\,du}_{\,I_1}\Bigr].
Calculemos
I_1=\int u\cos(2u)\,du =\frac u2\sin(2u)+\frac14\cos(2u) \Biggr|_{-1}^{0} =\frac14-\Bigl(\tfrac12\sin(-2)+\tfrac14\cos(-2)\Bigr) =\frac14-\frac12(-\sin2)-\frac14\cos2 =\frac{1-\cos2}{4}-\frac{\sin2}{2}.
Então
-2\Bigl[-\tfrac12+I_1\Bigr] =-2\Bigl[-\tfrac12+\frac{1-\cos2}{4}-\frac{\sin2}{2}\Bigr] = \frac12+\frac12\cos2+\sin2.

Resposta

\iint_{D}\cos\Bigl(\tfrac{y-x}{4}\Bigr)^{2}dx\,dy =\frac12+\frac12\cos2+\sin2.

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