Find f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) if f(x)=\frac{x}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede f'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) para a função
f(x)=\frac{x}{\operatorname{sec} x}.
O conteúdo é derivada de produto (após simplificar) e vamos precisar usar a definição de secante e a regra do produto.

Passo 2

Observamos que
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},
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f(x)=\frac{x}{\operatorname{sec} x}=x\cos x.
Agora temos f(x)=x\cos x, produto de G(x)=x e H(x)=\cos x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
f'(x)=G'(x)\,H(x)+G(x)\,H'(x) =1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x) =\cos x - x\sin x.

Passo 4

Para obter f'\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr), substituímos x=\tfrac{\pi}{6}:
f'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) -\tfrac{\pi}{6}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr).
Como \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2} e \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12, segue
f'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}.

Resposta

f'\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}.

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