Find the derivative at the given \boldsymbol{x}-value. Show your work!
7. f(x)=3 \tan x at x=\frac{2 \pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3\tan x no ponto x=\frac{2\pi}{3}. O conteúdo necessário é a regra de derivação da tangente, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x,
e a regra da constante, isto é, se f(x)=k\cdot g(x) então f'(x)=k\cdot g'(x).

Passo 2

Aplicando a regra da constante e a derivada de \tan x, obtemos
f'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=3\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Agora avaliamos em x=\frac{2\pi}{3}. Como
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},
segue que
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right)} =\frac{1}{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2}=4.
Portanto,
f'\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) =3\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) =3\cdot4=12.

Resposta

f'\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=12.

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