Find f_{x}, f_{y}, and f_{z}.
f(x, y, z)=\operatorname{tanh} (x+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\operatorname{tanh}(x+2y+3z),
e pede as derivadas parciais f_x, f_y e f_z. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para a função composta \operatorname{tanh}(u), onde u=x+2y+3z.

Passo 2

Defina
u = x + 2y + 3z,
então
f(x,y,z)=\operatorname{tanh}(u).
Sabemos que
\frac{d}{du}\operatorname{tanh}(u)=1-\operatorname{tanh}^2(u).
Para cada derivada parcial, aplicamos a regra da cadeia:
f_{x_i} = \frac{d}{du}\operatorname{tanh}(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x_i}.

Passo 3

Para f_x, temos \partial u/\partial x=1. Logo,
f_x = (1-\operatorname{tanh}^2(u))\cdot 1 = 1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z).

Passo 4

Para f_y, temos \partial u/\partial y=2. Logo,
f_y = (1-\operatorname{tanh}^2(u))\cdot 2 = 2\bigl(1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z)\bigr).

Passo 5

Para f_z, temos \partial u/\partial z=3. Logo,
f_z = (1-\operatorname{tanh}^2(u))\cdot 3 = 3\bigl(1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z)\bigr).

Resposta

f_x = 1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z) f_y = 2\bigl(1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z)\bigr) f_z = 3\bigl(1-\operatorname{tanh}^2(x+2y+3z)\bigr)

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