Find \partial f / \partial x and \partial f / \partial y.
f(x, y)=\tan ^{-1}(y / x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
O conteúdo aqui é derivação de função composta (regra da cadeia) e a derivada de \tan^{-1}(u), que é
\frac{d}{du}\tan^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^2}.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, defini u=y/x. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}\tan^{-1}(u)\;\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+u^2}\;\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).
Como
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =-\,\frac{y}{x^2},
resulta
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr) =-\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, usamos o mesmo u=y/x:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^2}\;\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).
Aqui
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =\frac{1}{x},
logo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\frac{1}{x} =\frac{x}{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}.

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