Find \partial f / \partial x and \partial f / \partial y.
f(x, y)=e^{x y} \ln y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = e^{x y}\,\ln y
O conteúdo principal é derivada parcial, em que vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, tratando uma variável de cada vez como constante.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Aqui \ln y é constante em relação a x, então aplicamos a regra da cadeia em e^{x y}:
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y} = y\,e^{x y}.
Multiplicando por \ln y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = \ln y \cdot \bigl(y\,e^{x y}\bigr) = y\,e^{x y}\,\ln y.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora aplicamos a regra do produto em e^{x y} e \ln y:
  1. Derivada de e^{x y} em relação a y: pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}e^{x y} = x\,e^{x y}.
  1. Derivada de \ln y em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\ln y = \frac{1}{y}.
Juntando pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial y} = \bigl(x\,e^{x y}\bigr)\,\ln y + e^{x y}\,\frac{1}{y} = x\,e^{x y}\,\ln y + \frac{e^{x y}}{y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\,e^{x y}\,\ln y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x\,e^{x y}\,\ln y + \frac{e^{x y}}{y}.

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