Find LF(t) if F(t)=rr0 & 0<t<2 4 & t>2

Passo 1

O enunciado apresenta a função F(t) definida por
F(t)= 0,&0<t<2, 4,&t>2
O conteúdo do problema é calcular a transformada de Laplace de uma função definida por partes, usando o operador degrau unitário (Heaviside) e a definição integral da transformada de Laplace.

Passo 2

Observamos que F(t) é zero até t=2 e vale 4 a partir de t=2. Isso equivale a escrever
F(t)=4,u(t-2),
onde u(t-2) é o degrau unitário deslocado em t=2.

Passo 3

Usamos a definição da transformada de Laplace:
LF(t) =integral0^inftyF(t),e^-st,dt
Como F(t)=0 para 0<t<2 e F(t)=4 para t>2, a integral reduz-se a
integral2^infty4,e^-st,dt

Passo 4

Calculamos a integral:
integral2^infty4,e^-st,dt =4integral2^inftye^-st,dt =4l[-1se^-str]t=2^ttoinfty =4l(0+1se^-2sr) =4se^-2s

Resposta

LF(t)=4s,e^-2s

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