Find LF(t) if F(t)=rr2 t & 0 <=q t <=q 5 1 & t>5

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
F(t)= 2,t, & 0 <= t <= 5, 1, & t>5
O conteúdo aqui é a definição de transformada de Laplace, que diz
LF(s)=integral0^inftye^-s t,F(t),dt
Para aplicar isso, vamos quebrar a integral em dois trechos: de 0 a 5 e de 5 a infty.

Passo 2

Escrevendo a definição com essa separação, temos
LF(s) =integral0^5e^-s t,(2t),dt +integral5^inftye^-s t,(1),dt
Denotemos
I1=integral0^52t,e^-s t,dt e I2=integral5^inftye^-s t,dt

Passo 3

Para calcular I1, usamos integração por partes. Seja
u=2t, dv=e^-s tdt Longrightarrow du=2,dt, v=-1se^-s t
Então
I1 =lu,vr|0^5-integral0^5v,du =l-2tse^-s tr|0^5 +integral0^52se^-s t,dt

Passo 4

Continuando I1:
-2tse^-s t|0^5 =-10se^-5s-0 e integral0^52se^-s tdt =2sl[-1se^-s tr]0^5 =-2s^2e^-5s+2s^2
Logo
I1 =-10se^-5s -2s^2e^-5s +2s^2

Passo 5

Agora I2:
I2 =integral5^inftye^-s tdt =l[-1se^-s tr]5^infty =0- l(-1se^-5sr) =e^-5ss

Passo 6

Somando I1+I2:
LF(s) = 2s^2 -10se^-5s -2s^2e^-5s +e^-5ss
Agrupando os termos com e^-5s:
LF(s) = 2s^2 -e^-5s!l(10s+2s^2-1sr) = 2s^2 -e^-5s!l(9s+2s^2r)

Resposta

boxed LF(t)(s) = 2s^2 - e^-5sl(9s+2s^2r)

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