Verifique que a função phi(x)=c1 e^x+c2 e^-2 x é uma solução para a equação linear
d^2 yd x^2+d yd x-2 y=0
para qualquer escolha das constantes c1 e c2. Determine c1 e c2 de modo que cada uma das seguintes condições iniciais seja satisfeita.
(a) y(0)=2, y^prime(0)=1
(b) y(1)=1, y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2+dydx-2y=0
e propõe a família de soluções
phi(x)=c1e^x+c2e^-2x
Para verificar, calculamos
y'(x)=c1e^x-2c2e^-2x, y''(x)=c1e^x+4c2e^-2x
e substituímos na equação:
y''+y'-2y =(c1e^x+4c2e^-2x) +(c1e^x-2c2e^-2x) -2(c1e^x+c2e^-2x) =0
Logo, qualquer escolha de c1,c2 gera uma solução.

Passo 2

Para (a) impomos
y(0)=c1+c2=2, y'(0)=c1-2c2=1
Da primeira equação segue c1=2-c2. Substituindo na segunda:
(2-c2)-2c2=1 ;Longrightarrow; 2-3c2=1 ;Longrightarrow; c2=13,
e então
c1=2-13=53

Passo 3

Para (b) impomos em x=1:
y(1)=c1e+c2e^-2=1, y'(1)=c1e-2c2e^-2=0
Da segunda equação vem c1e=2c2e^-2, ou seja c1=2c2e^-3. Substituindo na primeira:
2c2e^-3,e+c2e^-2=1 ;Longrightarrow; 2c2e^-2+c2e^-2=1 ;Longrightarrow; 3c2e^-2=1 ;Longrightarrow; c2=e^23,
e portanto
c1=2,e^23e^-3=23e

Resposta

(a) c1=tfrac53,;c2=tfrac13
(b) c1=tfrac23e,;c2=tfrace^23

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