Investigate the existence of the Laplace transform of
1 /(t+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência da transformada de Laplace da função
f(t)=1t+1,
isto é, analisar a convergência do integral
Lf(s)=integral0^inftye^-s,t,1t+1,dt
Para isso precisamos verificar se esse integral impróprio converge em t=0 e em ttoinfty.

Passo 2

Convergência em t=0^+:
Para t pequeno, tfrac1t+1 é contínua e fica próxima de 1. Logo
e^-s,t,1t+1sim e^-s,t
quando tto0^+. E como
integral0^varepsilone^-s,t,dt<infty
para todo sinC, não há problema de convergência no limite inferior.

Passo 3

Convergência em ttoinfty:
Para t grande, tfrac1t+1approxtfrac1t. Então comparamos
integral^infty!e^-s,t,1t+1,dt com integral^infty!e^-sigma,t,1t,dt,
onde sigma=Re(s). Sabe-se pelo critério de integral imprópria que
integralA^inftye^-sigma,t,1t,dt
converge se, e somente se, sigma>0. Se sigma<=0, ou seja Re(s)<=0, o fator exponencial não decai rápido o suficiente e o integral diverge como integral dt/t.

Passo 4

Como a região de convergência é Re(s)>0, podemos também obter uma expressão fechada. Faço a substituição u=s(t+1), então t=u/s-1 e dt=du/s, de modo que
integral0^inftye^-s,t,1t+1,dt = e^sintegrals^inftye^-uu,du = e^s,E1(s),
onde
E1(s)=integrals^inftye^-uu,du
é a função exponencial integral.

Resposta

A transformada de Laplace de tfrac1t+1 existe se, e somente se, Re(s)>0, e vale
Lltfrac1t+1r(s) = e^s,E1(s), Re(s)>0

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