Investigate the existence of the Laplace transform of
Passo 1
O enunciado pede para estudar a existência da transformada de Laplace da função
isto é, analisar a convergência do integral
Para isso precisamos verificar se esse integral impróprio converge em
e em
.
Passo 2
Convergência em
:
Para pequeno,
é contínua e fica próxima de
. Logo
Para
quando
. E como
para todo
, não há problema de convergência no limite inferior.
Passo 3
Convergência em
:
Para grande,
. Então comparamos
Para
onde
. Sabe-se pelo critério de integral imprópria que
converge se, e somente se,
. Se
, ou seja
, o fator exponencial não decai rápido o suficiente e o integral diverge como
.
Passo 4
Como a região de convergência é
, podemos também obter uma expressão fechada. Faço a substituição
, então
e
, de modo que
onde
é a função exponencial integral.
Resposta
A transformada de Laplace de
existe se, e somente se,
, e vale