Find LF(t) where F(t)=llt & 0 and F(t+2)=F(t) for t>0.

Passo 1

A função é periódica de período 2 e vale F(t)=t em 0<t<1 e F(t)=0 em 1<t<2. O que precisamos aqui é usar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas: L{F}(s)=\frac{1}{1−e{−sT}}\int_0T e^{−st}F(t),dt, onde T=2.

Passo 2

Precisamos calcular \int_0^2 e^{−st}F(t),dt. Como F(t)=0 em 1<t<2, basta computar \int_0^1 t,e^{−st}dt.

Passo 3

Para ∫_0^1 t e^{−st}dt aplicamos integração por partes: deixe u=t e dv=e^{−st}dt. Então du=dt e v=−\frac{1}{s}e^{−st}. Ficamos com
integral0^1 t e^−stdt=l-tse^−str|0^1+1sintegral0^1 e^−stdt
Calculando cada termo: o primeiro dá −\frac{1}{s}e^{−s}+0, e o segundo é \frac{1}{s}\Bigl[−\frac{1}{s}e{−st}\Bigr]_01=\frac{1}{s2}(1−e{−s}). Somando, obtemos
integral0^1 t e^−stdt=1s^2−e^−sl(1s+1s^2r)=1−e^−s(1+s)s^2

Passo 4

Substituindo na fórmula periódica temos
LF(s)=11−e^-2scdot1−e^−s(1+s)s^2
E aí está a transformada de Laplace da função dada.

Resposta

LF(s)=1−e^−s(1+s)s^2l(1−e^−2sr)

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