Let F(t)=ll3 t & 0<t<2 6 & 2<t<4 where F(t) has period 4. Find LF(t).

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica
e pede a transformada de Laplace .

Passo 2

Aplicando a fórmula com T=4, escrevemos
LF(s) =11-e^-4s l(underbraceintegral0^23t,e^-s tdtI1 +underbraceintegral2^46,e^-s tdtI2r)

Passo 3

Calculemos
I1=integral0^23t,e^-s tdt
Fazendo integração por partes, tome u=3t, dv=e^-s tdt, então
v=-1se^-s t, du=3,dt
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I1 =l[-3tse^-s tr]0^2 +integral0^23se^-s tdt =-6se^-2s +3sl[-1se^-s tr]0^2 =3s^2 -e^-2sl(6s+3s^2r)

Passo 4

Agora
I2=integral2^46,e^-s tdt =6l[-1se^-s tr]2^4 =6sl(e^-2s-e^-4sr)

Passo 5

Somando I1+I2 e organizando, temos
I1+I2 =3s^2 -e^-2s3s^2 -6se^-4s =1s^2l(3-3e^-2s-6s,e^-4sr)
Portanto
LF(s) =11-e^-4s ;3-3e^-2s-6s,e^-4ss^2

Resposta

boxed LF(t)(s) =3-3e^-2s-6s,e^-4ss^2,l(1-e^-4sr)

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