If F(t)=t^2, 0<t<2 and F(t+2)=F(t), find LF(t).

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2, com F(t)=t^2 em 0<t<2. O objetivo é encontrar LF(t). Para isso vamos usar a fórmula da transformada de Laplace de funções periódicas e calcular integral0^2 t^2 e^-st,dt por partes.

Passo 2

A fórmula para transformada de Laplace de f(t) periódica de período T é
Lf(s)=11-e^-sTintegral0^T e^-stf(t),dt
Aqui T=2 e f(t)=t^2, logo
LF(s)=11-e^-2sintegral0^2 t^2 e^-st,dt

Passo 3

Calculemos primeiro
J=integral0^2 t e^-st,dt
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^-stdt obtém-se
J=l[-tfractse^-str]0^2+tfrac1sintegral0^2 e^-stdt =-tfrac2se^-2s+tfrac1sl[-tfrac1se^-str]0^2 =tfrac1s^2-e^-2sl(tfrac2s+tfrac1s^2r)

Passo 4

Agora calculemos
I=integral0^2 t^2 e^-st,dt
Usando integração por partes com u=t^2, dv=e^-stdt e substituindo J vem
I=l[-tfract^2se^-str]0^2+tfrac2s,J =-tfrac4se^-2s+tfrac2sl(tfrac1s^2-e^-2s(tfrac2s+tfrac1s^2)r) =tfrac2s^3-e^-2s,tfrac4s^2+4s+2s^3

Passo 5

Substituindo I na fórmula periódica obtemos
LF(s) =11-e^-2sl(tfrac2s^3-e^-2s,tfrac4s^2+4s+2s^3r) =2s^3,1-e^-2s(2s^2+2s+1)1-e^-2s

Resposta

LF(t)(s) =2s^3,1-e^-2s(2s^2+2s+1)1-e^-2s

Exercícios relacionados