Verify the initial-value theorem for the function (2 t+3)^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema do valor inicial na transformada de Laplace para a função
f(t) = (2,t + 3)^2
Esse teorema afirma que
f(0^+) ;=;limstoinfty s,F(s),
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor inicial de f, isto é,
f(0^+) = (2cdot 0 + 3)^2 = 9

Passo 3

Agora, obtemos a transformada de Laplace de f(t). Para facilitar, expandimos
(2,t + 3)^2 = 4,t^2 + 12,t + 9
Aplicando a transformada termo a termo usando
Lt^2 = tfrac2s^3,
Lt = tfrac1s^2 e
L1 = tfrac1s, temos
L4,t^2 = 8s^3, L12,t = 12s^2, L9 = 9s
Logo,
F(s) = 8s^3 + 12s^2 + 9s

Passo 4

Usamos o teorema do valor inicial:
limstoinfty s,F(s) = limstoinfty l(8s^2 + 12s + 9r) = 9
Isso coincide com f(0^+)=9.

Resposta

Verificou-se que
f(0^+) = 9 e limstoinfty s,F(s) = 9,
logo o teorema do valor inicial está confirmado para f(t)=(2t+3)^2.

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