Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
g(x, y)=x-\left(y^{2} / x\right)+\sqrt{3} \operatorname{sec} ^{-1}(2 x y), \quad P_{0}(1,1), $\mathbf{A}=12 \mathbf{i}+5 \mathbf{j})

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
g(x,y)=x - \frac{y^2}{x} + \sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{-1}(2xy)
no ponto P_{0}(1,1) ao longo do vetor \mathbf{A}=12\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}.
Conteúdo: derivada direcional, vetor gradiente, vetor unitário e regra da cadeia para \operatorname{sec}^{-1}.

Passo 2

Para achar a derivada direcional usamos
D_{\mathbf{u}}g(P_{0}) = \nabla g(P_{0}) \cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u}=\mathbf{A}/\|\mathbf{A}\| é o vetor unitário na direção de \mathbf{A}.
Calculamos primeiro \|\mathbf{A}\|:
\|\mathbf{A}\| = \sqrt{12^{2}+5^{2}} = \sqrt{144+25} = 13,
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\mathbf{u} = \Bigl(\tfrac{12}{13},\,\tfrac{5}{13}\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais.
  1. Derivada parcial em x:
    • de x vem 1,
    • de -y^{2}/x vem +y^{2}/x^{2},
    • de \sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{-1}(2xy), usando
      \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}^{-1}(w)\bigr]=\frac{w'}{\lvert w\rvert\sqrt{w^{2}-1}}
      e no ponto 2xy>1 temos \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sec}^{-1}(2xy)\bigr] =\frac{2y}{2xy\sqrt{(2xy)^{2}-1}} =\frac{1}{x\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}}.Multiplicando por \sqrt{3} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{x\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}}.
      Portanto
\frac{\partial g}{\partial x} =1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{x\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}}.
  1. Derivada parcial em y:
    • de -y^{2}/x vem -2y/x,
    • de \sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{-1}(2xy), pela mesma regra, \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sec}^{-1}(2xy)\bigr] =\frac{2x}{2xy\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}} =\frac{1}{y\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}},dando \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{y\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}}.
      Logo
\frac{\partial g}{\partial y} =-\frac{2y}{x} + \frac{\sqrt{3}}{y\sqrt{4x^{2}y^{2}-1}}.

Passo 4

Avaliando em P_{0}(1,1):
\frac{\partial g}{\partial x}(1,1) =1 + \frac{1}{1} + \frac{\sqrt{3}}{1\sqrt{4-1}} =1 + 1 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =3,
\frac{\partial g}{\partial y}(1,1) =-2\cdot\frac{1}{1} + \frac{\sqrt{3}}{1\sqrt{3}} =-2 + 1 =-1.
Assim \nabla g(1,1) = (3,\,-1).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}g(1,1) =\nabla g(1,1)\cdot \mathbf{u} =3\cdot\frac{12}{13} + (-1)\cdot\frac{5}{13} =\frac{36 - 5}{13} =\frac{31}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{31}{13}

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