Find the directional derivative of the function at the given point in the direction of the vector \mathbf{v}.
f(x, y)=1+2 x \sqrt{y}, \quad(3,4), \quad \mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=1+2x\sqrt{y}
no ponto (3,4) na direção do vetor \mathbf v=\langle4,-3\rangle.
Para isso, vamos usar a definição
D_{\mathbf u}f(3,4)=\nabla f(3,4)\cdot \mathbf u,
onde \mathbf u é o vetor unitário na direção de \mathbf v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
Para x:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\sqrt{y}.
Para y:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} =\frac{x}{\sqrt{y}}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (3,4).
Como \sqrt{4}=2, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(3,4)=2\cdot2=4, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(3,4)=\frac{3}{2}.
Logo,
\nabla f(3,4)=\bigl\langle4,\tfrac{3}{2}\bigr\rangle.

Passo 4

Normalizar o vetor \mathbf v.
O comprimento de \mathbf v é
\|\mathbf v\|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=5.
Assim, o vetor unitário é
\mathbf u=\frac{1}{5}\langle4,-3\rangle =\bigl\langle\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\bigr\rangle.

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf u}f(3,4) =\nabla f(3,4)\cdot \mathbf u =\bigl\langle4,\tfrac{3}{2}\bigr\rangle \cdot \bigl\langle\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\bigr\rangle =4\cdot\tfrac{4}{5}+\tfrac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr).
Fazendo as contas:
4\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{16}{5}, \quad \tfrac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)=-\tfrac{9}{10},
\tfrac{16}{5}-\tfrac{9}{10} =\tfrac{32}{10}-\tfrac{9}{10} =\tfrac{23}{10}.

Resposta

\frac{23}{10}

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