Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at
. Then find the derivatives of the functions in these directions.
Passo 1
O enunciado pede as direções em que a função
aumenta e decresce mais rapidamente em
, e os respectivos valores das derivadas direcionais. Vamos usar o conceito de gradiente: a direção de máxima variação está ao longo de
e o valor da derivada direcional nessa direção é
.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. Primeiro, as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliamoas parciais em
. Note que
, então
Logo,
Passo 4
A direção de aumento mais rápido é o vetor unitário
na direção de
:
A derivada direcional de
nessa direção é
Passo 5
A direção de decrescimento mais rápido é o oposto de
:
A derivada direcional nessa direção é
Resposta
A direção de aumento mais rápido em
é
com derivada direcional
.
A direção de decrescimento mais rápido é com derivada direcional
.
A direção de decrescimento mais rápido é