Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions.
h(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)+y+6 z, \quad P_{0}(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede as direções em que a função
h(x,y,z)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)+y+6z
aumenta e decresce mais rapidamente em P_{0}(1,1,0), e os respectivos valores das derivadas direcionais. Vamos usar o conceito de gradiente: a direção de máxima variação está ao longo de \nabla h e o valor da derivada direcional nessa direção é \|\nabla h\|.

Passo 2

Calculamos o gradiente de h. Primeiro, as derivadas parciais:
\frac{\partial h}{\partial x} =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}-1},\quad \frac{\partial h}{\partial y} =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}-1}+1,\quad \frac{\partial h}{\partial z} =6.

Passo 3

Avaliamo­as parciais em P_{0}(1,1,0). Note que 1^{2}+1^{2}-1=1, então
\frac{\partial h}{\partial x}(1,1,0)=2,\quad \frac{\partial h}{\partial y}(1,1,0)=2+1=3,\quad \frac{\partial h}{\partial z}(1,1,0)=6.
Logo,
\nabla h(1,1,0)=(2,\,3,\,6).

Passo 4

A direção de aumento mais rápido é o vetor unitário \mathbf{u}_{\max} na direção de \nabla h:
\mathbf{u}_{\max} =\frac{\nabla h(1,1,0)}{\|\nabla h(1,1,0)\|} =\frac{(2,3,6)}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}} =\frac{(2,3,6)}{7}.
A derivada direcional de h nessa direção é
D_{\mathbf{u}_{\max}}h =\|\nabla h(1,1,0)\| =\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}} =7.

Passo 5

A direção de decrescimento mais rápido é o oposto de \mathbf{u}_{\max}:
\mathbf{u}_{\min} =-\frac{(2,3,6)}{7}.
A derivada direcional nessa direção é
D_{\mathbf{u}_{\min}}h =-\|\nabla h(1,1,0)\| =-7.

Resposta

A direção de aumento mais rápido em P_{0} é \displaystyle\frac{(2,3,6)}{7} com derivada direcional 7.
A direção de decrescimento mais rápido é \displaystyle-\frac{(2,3,6)}{7} com derivada direcional -7.

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