Find the Laplace transform of d^2d t^2e^2 t J0(2 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f''(t),onde f(t)=e^2tJ0(2t)
Vamos usar a propriedade
Lf''(t)(s) = s^2F(s)-s,f(0)-f'(0),
além da transformada conhecida
LJ0(b,t)(s) =1raizs^2+b^2
e do deslocamento em s para o fator e^2t.

Passo 2

Calcular f(0) e f'(0).
Temos
f(0)=e^0J0(0)=1cdot1=1
Para f'(t),
f'(t) =ddtl(e^2tJ0(2t)r) =2e^2tJ0(2t)+e^2t,2J0'(2t)
Como J0'(x)=-J1(x),
f'(t)=2e^2tJ0(2t)-2e^2tJ1(2t),
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f'(0)=2cdot1-2cdot0=2

Passo 3

Obter F(s)=Lf(t)(s).
Usando o deslocamento e^2t faz smapsto s-2, e com b=2 em J0(2t) vem
F(s) =Le^2tJ0(2t)(s) =1raiz(s-2)^2+2^2 =1raiz(s-2)^2+4

Passo 4

Aplicar a fórmula de Lf'':
Lf''(t)(s) = s^2F(s)-s,f(0)-f'(0) = s^2,1raiz(s-2)^2+4 - scdot1 - 2

Resposta

boxed Lld^2dt^2l(e^2tJ0(2t)r)r(s) = s^2raiz(s-2)^2+4 ;-; s ;-; 2

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