Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
3 e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função 3 e^-2 t . Para isso, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e entender para quais valores de s essa transformada existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo f(t) em uma função de s no domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(t) = 3 e^-2 t . Substituindo na fórmula, temos:
L3 e^-2 t = integral0^infty e^-s t cdot 3 e^-2 t , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os exponentes:
e^-s t cdot e^-2 t = e^-(s + 2) t
Então, a integral fica:
3 integral0^infty e^-(s + 2) t , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. A integral de e^-a t de 0 a infinito é 1a , desde que a > 0 . Aqui, a = s + 2 , então precisamos que s + 2 > 0 , ou seja, s > -2 .
3 integral0^infty e^-(s + 2) t , dt = 3 cdot 1s + 2

Passo 6

Portanto, a Transformada de Laplace de 3 e^-2 t é:
L3 e^-2 t = 3s + 2
E essa transformada existe para valores de s que satisfazem s > -2 .

Resposta

A Transformada de Laplace de 3 e^-2 t é 3s + 2 e ela existe para s > -2 .

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