Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of
for which the Laplace transform exists.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e entender para quais valores de
essa transformada existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
em uma função de
no domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Laplace é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os exponentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. A integral de
de 0 a infinito é
, desde que
. Aqui,
, então precisamos que
, ou seja,
.
Passo 6
Portanto, a Transformada de Laplace de
é:
E essa transformada existe para valores de
que satisfazem
.
Resposta
A Transformada de Laplace de
é
e ela existe para
.