Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
5 t-3

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=5t-3 e a região de valores de s em que essa transformada existe. Vamos usar a definição integral da transformada de Laplace, a propriedade de linearidade e as fórmulas padrão para Lt e L1.

Passo 2

Pela definição e linearidade:
L5t-3(s) =integral0^infty(5t-3)e^-st,dt =5integral0^inftyt,e^-st,dt -3integral0^inftye^-st,dt =5, Lt(s)-3, L1(s)

Passo 3

Usando o resultado padrão
Lt(s) =integral0^inftyt,e^-st,dt =1s^2,
que converge para Re(s)>0.

Passo 4

E o resultado
L1(s) =integral0^inftye^-st,dt =1s,
que também converge para Re(s)>0.

Passo 5

Substituindo em L5t-3(s)=5,1s^2-3,1s, obtemos
L5t-3(s) =5s^2-3s,
cuja região de convergência é Re(s)>0.

Resposta

L5t-3(s) =5s^2-3s, Re(s)>0

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