Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
2 t^2-e^-t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = 2,t^2 ;-; e^-t,
além de determinar para quais valores de s essa transformada existe. Vamos usar a definição da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas:
Lt^n = n!s^n+1, definida para Re(s)>0.
Le^-a t = 1s + a, definida para Re(s)>-a.

Passo 2

Calcular L2,t^2 pela linearidade:
L2,t^2 = 2;Lt^2 = 2;2!s^3 = 4s^3
A região de convergência desse termo é Re(s)>0.

Passo 3

Calcular Le^-t usando a fórmula com a=1:
Le^-t = 1s + 1
A região de convergência é Re(s)>-1.

Passo 4

Pela linearidade da transformada,
L2,t^2 - e^-t = 4s^3 ;-; 1s + 1
A região de convergência é a interseção das condições Re(s)>0 e Re(s)>-1, ou seja,
Re(s)>0

Resposta

L2,t^2 - e^-t = 4s^3 ;-; 1s + 1, Re(s)>0

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