Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
3 cos 5 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função ,3cos(5t). O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e o uso de fórmulas conhecidas (ou cálculo de integral) para funções trigonométricas. Vamos precisar da definição
Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e da integral que gera a transformada de cos(5t).

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace de cos(5t):
Lcos(5t) =integral0^inftye^-stcos(5t),dt
Essa integral é conhecida e resulta em
Lcos(5t) =ss^2+5^2 =ss^2+25,
válido para Re(s)>0, de modo que o fator exponencial garante convergência.

Passo 3

Como queremos a transformada de 3cos(5t), basta usar linearidade:
L3cos(5t) =3;Lcos(5t) =3;ss^2+25 =3ss^2+25

Passo 4

A região de convergência continua a mesma de cos(5t), ou seja,
Re(s)>0,
pois para Re(s)<=0 a integral não converge.

Resposta

L3cos(5t)=3ss^2+25, Re(s)>0

Exercícios relacionados