Resolva a Equação de Clairaut dada:
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial
que está no formato de uma equação de Clairaut, ou seja, pode ser escrita como
com
e
. Para resolver precisamos obter a família geral de soluções e a possível solução singular (envelope).
Passo 2
Na equação de Clairaut, a solução geral vem simplesmente substituindo
por uma constante arbitrária
. Assim,
com
. Essa família satisfaz
e substituindo em
dá
, que confere.
Passo 3
Para encontrar a solução singular (envelope), derivamos a expressão
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
A condição
implica
. Substituindo em
obtemos a solução singular:
Resposta
Solução geral:
Solução singular (envelope):