Resolva a Equação de Clairaut dada:
x y^prime-y=e^y^prime

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
x,y' - y = e^y',
que está no formato de uma equação de Clairaut, ou seja, pode ser escrita como
y = x,p - f(p),
com p=y' e f(p)=e^p. Para resolver precisamos obter a família geral de soluções e a possível solução singular (envelope).

Passo 2

Na equação de Clairaut, a solução geral vem simplesmente substituindo p por uma constante arbitrária C. Assim,
y = x,C - e^C,
com CinR. Essa família satisfaz
y' = C
e substituindo em x,y'-y = e^y' x,C - (x,C - e^C) = e^C, que confere.

Passo 3

Para encontrar a solução singular (envelope), derivamos a expressão
y(x,p) = x,p - e^p
em relação a p e igualamos a zero:
partialpartial pl(x,p - e^pr) = x - e^p =0 Longrightarrow x = e^p

Passo 4

A condição x=e^p implica p = ln x. Substituindo em
y = x,p - e^p
obtemos a solução singular:
y = xln x - x = xl(ln x - 1r)

Resposta

Solução geral:
y = C,x - e^C, CinR
Solução singular (envelope):
y = xl(ln x - 1r)

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