Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
10 sin 6 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=10sin(6t)
e quer também a região de convergência em termos de s. O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace e o uso do par padrão para sin(at).

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f(t), para t>=0, é dada por
Lf(t)(s) =integral0^inftye^-stf(t),dt,
desde que a integral convirja.

Passo 3

Sabemos do par conhecido que, para a>0,
Lsin(at)(s) =as^2+a^2,
com região de convergência Re(s)>0.

Passo 4

Como nossa função é 10sin(6t), basta usar a linearidade:
L10sin(6t)(s) =10;Lsin(6t)(s) =10;6s^2+6^2 =60s^2+36
A condição para convergência permanece Re(s)>0.

Resposta

L10sin(6t)(s) =60s^2+36, Re(s)>0

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