Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
(t^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de (t^2+1)^2 e a região de convergência em s. O conteúdo aqui é usar propriedade de linearidade e a tabela básica
Lt^n = n!s^n+1 e L1 = 1s, válidas para Re(s)>0.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
(t^2+1)^2 = t^4 + 2,t^2 + 1

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Lt^4 + 2,t^2 + 1 = Lt^4 ;+; 2,Lt^2 ;+; L1

Passo 4

Aplicando a fórmula Lt^n = n!s^n+1 e L1=1s:
Lt^4 = 4!s^5 = 24s^5, Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3, L1 = 1s
Logo,
2,Lt^2 = 4s^3

Passo 5

Somando tudo, obtemos
L(t^2+1)^2 = 24s^5 ;+; 4s^3 ;+; 1s = s^4 + 4,s^2 + 24s^5

Resposta

L(t^2+1)^2 = 24s^5 ;+; 4s^3 ;+; 1s, válido para Re(s)>0 á

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