Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
6 sin 2 t-5 cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=6sin(2t)-5cos(2t),
O conteúdo é “transformada de Laplace” e vamos usar as fórmulas padrão:
Lsin(at)=as^2+a^2 e
Lcos(at)=ss^2+a^2,
válidas para Re(s)>0.

Passo 2

Calcular L6sin(2t). Usando linearidade e a fórmula para seno com a=2:
L6sin(2t) =6;Lsin(2t) =6cdot2s^2+2^2 =12s^2+4,

Passo 3

Calcular L-5cos(2t). Novamente por linearidade e a fórmula para cosseno:
L-5cos(2t) =-5;Lcos(2t) =-5cdotss^2+2^2 =-5ss^2+4,

Passo 4

Somando as duas partes, a transformada de f(t) fica
F(s) =12s^2+4-5ss^2+4 =12-5ss^2+4,
Como sin(2t) e cos(2t) são de ordem exponencial zero, essa transformada existe para
Re(s)>0.

Resposta

L6sin(2t)-5cos(2t)=12-5ss^2+4, para Re(s)>0

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