Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
(sin t-cos t)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = (sin t - cos t)^2,
devendo também indicar para quais valores de s essa transformada existe. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar f(t) e depois aplicar a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^2t + cos^2t = 1 e 2sin tcos t = sin(2t),
para reescrever
(sin t - cos t)^2 = sin^2t - 2sin tcos t + cos^2t = 1 - sin(2t)

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
L1 - sin(2t) = L1 ;-;Lsin(2t)
Sabemos que
L1 = 1s, Lsin(2t) = 2s^2+4,
e ambas convergem para Re(s)>0.

Passo 4

Substituindo, obtemos
L(sin t - cos t)^2 = 1s ;-; 2s^2+4

Resposta

L(sin t - cos t)^2 = 1s ;-; 2s^2+4, para Re(s)>0

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