Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
3 cosh 5 t-4 sinh 5 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3cosh5t-4sinh5t.
O conteúdo principal é usar a linearidade da transformada de Laplace e as expressões de
cosh e sinh. Precisaremos da fórmula
Le^kt=1s-k para determinar as transformadas individuais.

Passo 2

Lembremos as definições em termos de exponenciais:
cosh5t = e^5t+e^-5t2, sinh5t = e^5t-e^-5t2
Como Le^kt=1s-k válida para Re(s)>Re(k), usaremos a linearidade para construir
Lcosh5t e Lsinh5t.

Passo 3

Calculando
Lcosh5t = 12l(1s-5+1s+5r) = ss^2-25,
e
Lsinh5t = 12l(1s-5-1s+5r) = 5s^2-25

Passo 4

Pela linearidade:
L3cosh5t = 3ss^2-25, L-4sinh5t = -4cdot5s^2-25 = -20s^2-25
Somando essas parcelas, obtemos
L3cosh5t-4sinh5t = 3s-20s^2-25

Passo 5

Para convergência nota-se que cosh5t e sinh5t contêm o termo e^5t, cuja transformada exige Re(s)>5.
Logo, a região de existência é Re(s)>5.

Resposta

L3cosh5t-4sinh5t = 3s-20s^2-25, Re(s)>5

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