At what points (x, y) in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
f(x, y)=\sin (x+y)

Passo 1

O enunciado pede os pontos onde a função f(x,y)=\sin(x+y) é contínua. O conteúdo é continuidade de funções compostas, usando que soma e seno são contínuos.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x+y.
Como projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y e soma são polinomiais, g é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Definimos a função externa
h(u)=\sin(u).
A função seno é contínua para todo u\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como
f(x,y)=h\bigl(g(x,y)\bigr),
e composição de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função f(x,y)=\sin(x+y) é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2.

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