At what points (x, y) in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = \frac{y}{x^{2}+1}
e pede para determinar em que pontos (x,y) do plano ela é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, usando que somas, produtos e quocientes de funções contínuas são contínuos, desde que o denominador não se anule.

Passo 2

Para achar o domínio de f, observamos o denominador x^{2}+1. Como para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge0, segue que
x^{2}+1 \ge 1 > 0.
Logo, o denominador nunca é zero e não há restrições em x nem em y, ou seja,
\mathrm{Dom}\,f = \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

As funções projeção (x,y)\mapsto y e (x,y)\mapsto x^{2}+1 são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Como o quociente de duas funções contínuas é contínuo no domínio onde o denominador não se anula, f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função f(x,y)=\frac{y}{x^{2}+1} é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

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