Usando as definições das funções complexas, mostre que:
\operatorname{sen}(z)=\frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right), \cos (z)=\frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que temos e o que pedem: é preciso mostrar as identidades
\operatorname{sen}(z)=\frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right), \qquad \cos(z)=\frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right).
As informações de partida são as definições das funções complexas pelas séries de potências (essas séries definem as funções inteiras, isto é, válidas para todo z\in\mathbb{C}). Escrevo as definições que vou usar (tudo extraído das definições padrão das funções exponencial, seno e cosseno estendidas ao plano complexo):
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
\sin w=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos w=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n}}{(2n)!},
válidas para todo w\in\mathbb{C}. A ideia é substituir w=i z na série do exponencial, separar termos pares e ímpares e comparar com as séries de \sin z e \cos z.

Passo 2

Calculo e^{i z} a partir da definição da exponencial, substituindo w=i z:
e^{i z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i z)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}i^{n}\frac{z^{n}}{n!}.
Aqui usei que (iz)^n=i^n z^n. Como a série do exponencial converge absolutamente para todo z, posso reorganizar os termos (separar pares/ímpares) sem problema.

Passo 3

Separo a soma de e^{i z} em termos com n par e n ímpar. Escrevo n=2k para índices pares e n=2k+1 para ímpares:
e^{i z}=\sum_{k=0}^{\infty}i^{2k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}i^{2k+1}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agora uso as potências de i: i^{2k}=(-1)^{k} e i^{2k+1}=i(-1)^{k}. Substituindo isso:
e^{i z}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 4

Comparo a expressão obtida com as séries definidas de \cos z e \sin z. Pelas definições do Passo 1:
\cos z=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}, \qquad \sin z=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto a igualdade do Passo 3 fica:
e^{i z}=\cos z + i\,\sin z.
Esta é a forma de Euler estendida ao plano complexo (valendo para todo z\in\mathbb{C}).

Passo 5

Faço o mesmo para e^{-i z}. Substituindo w=-iz na série do exponencial e separando pares/ímpares,
e^{-i z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i z)^{n}}{n!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-i)^{2k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}(-i)^{2k+1}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Como (-i)^{2k}=(-1)^{k} e (-i)^{2k+1}=-i(-1)^{k}, obtemos
e^{-i z}=\cos z - i\,\sin z.

Passo 6

Agora resolvo o sistema formado por
e^{i z}=\cos z + i\,\sin z, \qquad e^{-i z}=\cos z - i\,\sin z.
Somando as duas equações:
e^{i z}+e^{-i z}=2\cos z \quad\Rightarrow\quad \cos z=\frac{1}{2}\bigl(e^{i z}+e^{-i z}\bigr).
Subtraindo a segunda da primeira:
e^{i z}-e^{-i z}=2i\,\sin z \quad\Rightarrow\quad \sin z=\frac{1}{2i}\bigl(e^{i z}-e^{-i z}\bigr).
Essas manipulações são válidas porque tratamos de séries que convergem absolutamente (funções inteiras), então soma, subtração e combinação linear termo a termo são permitidas.

Passo 7

Concluo que, usando as definições pelas séries de potências e a comparação termo a termo, as identidades solicitadas são verdadeiras para todo z\in\mathbb{C}. (Se sentir insegurança: a razão rigorosa é que as séries convergem uniformemente em compacts e permite operações termo a termo; mas não precisa decorar isso agora — o importante é saber que as igualdades valem para todos os complexos.)

Resposta

\operatorname{sen}(z)=\frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right)
\cos(z)=\frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right)

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