Usando as definições das funções complexas, mostre que:
Passo 1
Vou deixar claro o que temos e o que pedem: é preciso mostrar as identidades
As informações de partida são as definições das funções complexas pelas séries de potências (essas séries definem as funções inteiras, isto é, válidas para todo
). Escrevo as definições que vou usar (tudo extraído das definições padrão das funções exponencial, seno e cosseno estendidas ao plano complexo):
válidas para todo
. A ideia é substituir
na série do exponencial, separar termos pares e ímpares e comparar com as séries de
e
.
Passo 2
Calculo
a partir da definição da exponencial, substituindo
:
Aqui usei que
. Como a série do exponencial converge absolutamente para todo
, posso reorganizar os termos (separar pares/ímpares) sem problema.
Passo 3
Separo a soma de
em termos com
par e
ímpar. Escrevo
para índices pares e
para ímpares:
Agora uso as potências de
:
e
. Substituindo isso:
Passo 4
Comparo a expressão obtida com as séries definidas de
e
. Pelas definições do Passo 1:
Portanto a igualdade do Passo 3 fica:
Esta é a forma de Euler estendida ao plano complexo (valendo para todo
).
Passo 5
Faço o mesmo para
. Substituindo
na série do exponencial e separando pares/ímpares,
Como
e
, obtemos
Passo 6
Agora resolvo o sistema formado por
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Essas manipulações são válidas porque tratamos de séries que convergem absolutamente (funções inteiras), então soma, subtração e combinação linear termo a termo são permitidas.
Passo 7
Concluo que, usando as definições pelas séries de potências e a comparação termo a termo, as identidades solicitadas são verdadeiras para todo
. (Se sentir insegurança: a razão rigorosa é que as séries convergem uniformemente em compacts e permite operações termo a termo; mas não precisa decorar isso agora — o importante é saber que as igualdades valem para todos os complexos.)