Find the point on the plane x-y+z=4 that is closest to the point (1, 2, 3).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta definida pelo plano
x - y + z = 4
que está mais próximo de (1,2,3).
O conteúdo envolvido é geometria analítica em \mathbb{R}^3: a distância de um ponto a um plano e sua projeção ortogonal. Para resolver, vamos usar a fórmula da projeção de um ponto em um plano dado pelo seu vetor normal.

Passo 2

Identificamos o vetor normal \mathbf{n} do plano.
Como a equação do plano é
x - y + z = 4,
temos
\mathbf{n} = (A,B,C) = (1,-1,1).

Passo 3

Calculamos o parâmetro
t = \frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 - D}{A^2 + B^2 + C^2}
para o ponto (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3) e D=4.
O numerador é
1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 - 4 = 1 - 2 + 3 - 4 = -2,
e o denominador é
1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3.
Logo
t = \frac{-2}{3}.

Passo 4

A projeção ortogonal do ponto (1,2,3) no plano é
P = (1,2,3) - t\,(1,-1,1).
Como t = -\tfrac{2}{3}, temos
P = (1,2,3) - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\,(1,-1,1) = (1,2,3) + \tfrac{2}{3}\,(1,-1,1).
Portanto
P = \Bigl(1 + \tfrac{2}{3},\,2 - \tfrac{2}{3},\,3 + \tfrac{2}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{11}{3}\Bigr).

Resposta

O ponto do plano x - y + z = 4 mais próximo de (1,2,3) é \bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\bigr).

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