Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial
\mathbf{F} e a superfície S.
\mathbf{F}(x, y, z)=3 y \mathbf{i}+4 z \mathbf{j}-6 x \mathbf{k},
S é a parte do paraboloide z=9-x{2}-y{2} que está acima do plano x y, orientada ascendentemente

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=3y\,\mathbf{i}+4z\,\mathbf{j}-6x\,\mathbf{k}
e para a superfície S dada pelo paraboloide
z = 9 - x^2 - y^2,
acima do plano xy (isto é, x^2+y^2\le9), orientada com a normal apontando para cima.
Para isso, vamos calcular
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS \quad\text{e}\quad \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C=\partial S é o círculo x^2+y^2=9, z=0, orientado segundo a regra da mão direita (CCW visto de cima).

Passo 2

Calculemos o rotacional de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ 3y&4z&-6x \end{vmatrix} =\bigl(\partial_{y}(-6x)-\partial_{z}(4z)\bigr)\mathbf{i} +\bigl(\partial_{z}(3y)-\partial_{x}(-6x)\bigr)\mathbf{j} +\bigl(\partial_{x}(4z)-\partial_{y}(3y)\bigr)\mathbf{k}.
Calculando as derivadas:
\nabla\times\mathbf{F}=(-4)\,\mathbf{i}+(6)\,\mathbf{j}+(-3)\,\mathbf{k} =\langle -4,\,6,\,-3\rangle.

Passo 3

Para o integral de superfície, usamos a parametrização natural x=u,\;y=v,\;z=9-u^2-v^2. A normal orientada para cima dá
d\mathbf{S} =\bigl(-z_{u},\,-z_{v},\,1\bigr)\,du\,dv =\bigl(2u,\,2v,\,1\bigr)\,du\,dv.
Então
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\langle -4,6,-3\rangle\cdot\langle2u,2v,1\rangle =-8u+12v-3.
A região de projeção no plano uv é o disco u^2+v^2\le9. Como u e v são simétricos,
os termos -8u e 12v dão zero, restando
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{u^2+v^2\le9}(-3)\,du\,dv =-3\cdot\bigl(\pi\cdot3^{2}\bigr) =-27\pi.

Passo 4

Agora fazemos o integral de linha em C. Parametrizamos
\mathbf{r}(t)=\langle3\cos t,\;3\sin t,\;0\rangle,\quad 0\le t\le2\pi,
de modo que d\mathbf{r}=\langle -3\sin t,\,3\cos t,\,0\rangle\,dt. Sobre C, temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\langle 3\,(3\sin t),\,4\cdot 0,\,-6\,(3\cos t)\rangle =\langle9\sin t,\,0,\,-18\cos t\rangle.
Logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =9\sin t\cdot(-3\sin t)+0\cdot3\cos t+(-18\cos t)\cdot0 =-27\sin^{2}t\,dt.
Integramos de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}-27\sin^{2}t\,dt =-27\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =-27\cdot\pi =-27\pi.

Passo 5

Como
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-27\pi,
vemos que o Teorema de Stokes se verifica.

Resposta

As duas integrais valem -27\pi, confirmando o Teorema de Stokes.

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