Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial
\mathbf{F} e a superfície S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k},
S é o helicoide com equação vetorial
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \pi
\mathbf{F} e a superfície S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k},
S é o helicoide com equação vetorial
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \pi
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e para a superfície parametrizada por
e para a superfície
O Teorema de Stokes afirma que
Para verificar, precisamos calcular de um lado o integral de superfície de
sobre
e, do outro, o integral de linha de
em torno da fronteira
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Por definição,
Aqui
,
,
, logo
Passo 3
Parametrização de
:
O produto vetorial dá
Então
O integral de superfície é
Primeiro em
:
Agora em
:
Passo 4
Determinar
. Os quatro bordos são as curvas em
,
,
e
.
Só a curva dá contribuição não nula.
Para temos
Só a curva
Para
Logo
e
As demais arestas somam zero ou se cancelam.
Resposta
Em ambos os lados obtemos
logo o Teorema de Stokes está verificado.