Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial
\mathbf{F} e a superfície S.
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k},
S é o helicoide com equação vetorial
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{i}+z\,\mathbf{j}+x\,\mathbf{k}
e para a superfície S parametrizada por
\mathbf{r}(u,v)=u\cos v\,\mathbf{i}+u\sin v\,\mathbf{j}+v\,\mathbf{k}, \quad 0\le u\le1,\\\ 0\le v\le\pi.
O Teorema de Stokes afirma que
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Para verificar, precisamos calcular de um lado o integral de superfície de \nabla\times\mathbf{F} sobre S e, do outro, o integral de linha de \mathbf{F} em torno da fronteira \partial S.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Por definição,
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\partial_yF_z-\partial_zF_y,\;\partial_zF_x-\partial_xF_z,\;\partial_xF_y-\partial_yF_x\Bigr).
Aqui F_x=y, F_y=z, F_z=x, logo
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(0-1,\;0-1,\;0-1\bigr) =(-1,\,-1,\,-1).

Passo 3

Parametrização de S:
\mathbf{r}_u=(\cos v,\;\sin v,\;0),\qquad \mathbf{r}_v=(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).
O produto vetorial dá
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =(\sin v,\;-\,\cos v,\;u).
Então
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) =(-1,-1,-1)\cdot(\sin v,-\cos v,u) =-\sin v+\cos v - u.
O integral de superfície é
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\int_{v=0}^{\pi}\!\int_{u=0}^{1} \bigl(-\sin v+\cos v - u\bigr)\,du\,dv.
Primeiro em u:
\int_{0}^{1}\bigl(-\sin v+\cos v - u\bigr)\,du =(-\sin v+\cos v)\cdot1 - \tfrac12\cdot1^2 =-\sin v+\cos v-\tfrac12.
Agora em v:
\int_{0}^{\pi}\bigl(-\sin v+\cos v-\tfrac12\bigr)\,dv =\bigl[\cos v\bigr]_0^\pi +\bigl[\sin v\bigr]_0^\pi -\tfrac12\pi =(-1-1)+(0-0)-\tfrac{\pi}{2} =-2-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Determinar \partial S. Os quatro bordos são as curvas em
u=1, u=0, v=0 e v=\pi.
Só a curva C\colon u=1,\\\ 0\le v\le\pi dá contribuição não nula.
Para C temos
\mathbf{r}(v)=(\cos v,\;\sin v,\;v),\qquad d\mathbf{r}=(-\sin v,\;\cos v,\;1)\,dv,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(v)) =(\sin v,\;v,\;\cos v).
Logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\sin^2v+v\cos v+\cos v,
e
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{\pi}\bigl(-\sin^2v+v\cos v+\cos v\bigr)\,dv =-2-\tfrac{\pi}{2}.
As demais arestas somam zero ou se cancelam.

Resposta

Em ambos os lados obtemos
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-2-\tfrac{\pi}{2},
logo o Teorema de Stokes está verificado.

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