Find the points on the cone
that are closest to the point (4, 2, 0).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no cone definido por
, os pontos que minimizam a distância até
.
Conteúdo: otimização com restrição (aqui feita por substituição direta). Vamos minimizar a distância ao quadrado em vez da distância, pois isso simplifica os cálculos sem alterar o ponto mínimo.
Conteúdo: otimização com restrição (aqui feita por substituição direta). Vamos minimizar a distância ao quadrado em vez da distância, pois isso simplifica os cálculos sem alterar o ponto mínimo.
Passo 2
Denotemos um ponto genérico do cone por
. A distância ao quadrado até
é
Como no cone vale
, substituímos
na expressão:
Passo 3
Expandindo e somando termos semelhantes, obtemos
Passo 4
Para achar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como o Hessiano é positivo definido (
nas duas direções), esse ponto é mínimo.
Passo 5
No cone,
.
Logo, temos dois pontos simétricos que alcançam a distância mínima:
Logo, temos dois pontos simétricos que alcançam a distância mínima:
Resposta
Os pontos do cone mais próximos de
são