Find the points on the cone z^{2}=x^{2}+y^{2} that are closest to the point (4, 2, 0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no cone definido por \,z^{2}=x^{2}+y^{2}, os pontos que minimizam a distância até (4,2,0).
Conteúdo: otimização com restrição (aqui feita por substituição direta). Vamos minimizar a distância ao quadrado em vez da distância, pois isso simplifica os cálculos sem alterar o ponto mínimo.

Passo 2

Denotemos um ponto genérico do cone por (x,y,z). A distância ao quadrado até (4,2,0) é
D^{2}(x,y,z) = (x-4)^{2} + (y-2)^{2} + (z-0)^{2}.
Como no cone vale \,z^{2}=x^{2}+y^{2}, substituímos \,z^{2} na expressão:
D^{2}(x,y) = (x-4)^{2} + (y-2)^{2} + x^{2} + y^{2}.

Passo 3

Expandindo e somando termos semelhantes, obtemos
D^{2}(x,y) = 2x^{2} - 8x + 16 \;+\; 2y^{2} - 4y + 4 = 2x^{2} + 2y^{2} - 8x - 4y + 20.

Passo 4

Para achar o mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero:
\frac{\partial D^{2}}{\partial x} = 4x - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,
\frac{\partial D^{2}}{\partial y} = 4y - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
Como o Hessiano é positivo definido ( 4>0 nas duas direções), esse ponto é mínimo.

Passo 5

No cone, z = \pm\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \pm\sqrt{2^{2}+1^{2}} = \pm\sqrt{5}.
Logo, temos dois pontos simétricos que alcançam a distância mínima:
(2,\,1,\,\sqrt{5}) \quad\text{e}\quad (2,\,1,\,-\sqrt{5}).

Resposta

Os pontos do cone mais próximos de (4,2,0) são
(2,\,1,\,\sqrt{5}) \quad\text{e}\quad (2,\,1,\,-\sqrt{5}).

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