Find three positive numbers whose sum is 100 and whose product is a maximum.
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha três números positivos
,
e
tais que
e faça o produto
ser o maior possível. O conteúdo que vamos usar é a Desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM), que relaciona a média aritmética com a média geométrica de números positivos.
Passo 2
A Desigualdade AM–GM para três números positivos diz que
Como
, temos
Passo 3
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
ou seja,
Isso mostra que o maior valor possível de
é
.
Passo 4
A igualdade na AM–GM ocorre exatamente quando
Como
, concluímos que
Resposta
Os três números que maximizam o produto são