Find three positive numbers whose sum is 100 and whose product is a maximum.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha três números positivos x, y e z tais que
x+y+z=100
e faça o produto
P = xyz
ser o maior possível. O conteúdo que vamos usar é a Desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM), que relaciona a média aritmética com a média geométrica de números positivos.

Passo 2

A Desigualdade AM–GM para três números positivos diz que
\frac{x+y+z}{3} \;\ge\; \sqrt[3]{xyz}.
Como x+y+z=100, temos
\frac{100}{3} \;\ge\; \sqrt[3]{xyz}.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
\left(\frac{100}{3}\right)^{3} \;\ge\; xyz,
ou seja,
xyz \;\le\; \Bigl(\tfrac{100}{3}\Bigr)^{3}.
Isso mostra que o maior valor possível de P é \bigl(\frac{100}{3}\bigr)^{3}.

Passo 4

A igualdade na AM–GM ocorre exatamente quando
x = y = z.
Como x+y+z=100, concluímos que
x = y = z = \frac{100}{3}.

Resposta

Os três números que maximizam o produto são
\frac{100}{3},\quad \frac{100}{3},\quad \frac{100}{3}.

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