Find three positive numbers whose sum is 12 and the sum of whose squares is as small as possible.

Passo 1

O enunciado pede três números positivos cuja soma é \,12 e tal que a soma dos quadrados deles seja mínima. O conteúdo envolvido é otimização com restrição, que podemos resolver usando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função a minimizar
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
com a restrição
x+y+z=12.
Para aplicar Lagrange, montamos
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-\lambda\,(x+y+z-12).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=2z-\lambda=0.
Isso implica
x=\frac{\lambda}{2},\quad y=\frac{\lambda}{2},\quad z=\frac{\lambda}{2}.

Passo 4

Usando a restrição x+y+z=12, temos
3\cdot\frac{\lambda}{2}=12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\lambda}{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=y=z=4.

Passo 5

Verificamos que esses valores são positivos e satisfazem a soma. A soma dos quadrados é
4^2+4^2+4^2=3\cdot16=48,
que é o mínimo possível sob a restrição dada.

Resposta

Os três números são 4, 4 e 4.

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