Find three positive numbers whose sum is 12 and the sum of whose squares is as small as possible.
Passo 1
O enunciado pede três números positivos cuja soma é
e tal que a soma dos quadrados deles seja mínima. O conteúdo envolvido é otimização com restrição, que podemos resolver usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função a minimizar
com a restrição
Para aplicar Lagrange, montamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Isso implica
Passo 4
Usando a restrição
, temos
Passo 5
Verificamos que esses valores são positivos e satisfazem a soma. A soma dos quadrados é
que é o mínimo possível sob a restrição dada.
Resposta
Os três números são
,
e
.