Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(l) sumn=1^infty[2^n sen(n pi+pi / 2)3^2 n-2].

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumn=1^infty2^n,sen(npi+pi/2)3^2n-2
e pede para identificá-la como série de encaixe ou geométrica e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar a identidade trigonométrica para simplificar o termo geral e depois reconhecer a forma de série geométrica.

Passo 2

Usamos a identidade
sen(npi+pi/2)=(-1)^nsen(pi/2)=(-1)^n
Logo o termo geral vira
2^n,sen(npi+pi/2)3^2n-2 =2^n(-1)^n3^2n-2 =(-2)^n3^2n-2

Passo 3

Observe que 3^2n-2=9^,n-1. Assim
an=(-2)^n9^,n-1 =(-2),(-2)^,n-19^,n-1 =(-2)gl(-tfrac29gr)^n-1

Passo 4

Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo
a = -2
e razão
r = -tfrac29,
pois
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty(-2)l(-tfrac29r)^n-1

Passo 5

Verificamos a convergência pelo módulo da razão:
|r|=l|,-tfrac29r|=tfrac29<1,
logo a série converge.

Passo 6

A soma de uma série geométrica infinita é
sumn=1^inftya,r^,n-1=a1-r
Substituindo a=-2 e r=-tfrac29, tem-se
sumn=1^inftyan =-21-(-2/9) =-21+tfrac29 =-2tfrac119 =-1811

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac1811.

Exercícios relacionados