Use the shell method to find the volume enclosed by the surface obtained by revolving the ellipse b^2 x^2+a^2 y^2= a^2 b^2 about the y-axis.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela revolução da elipse
b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
ao redor do eixo y. O conteúdo é o método das cascas cilíndricas, em que cada casca de raio x, altura dada por ysuperior-yinferior e espessura dx gera um volume elementar dV = 2pi xcdot(a<ura),dx.

Passo 2

Primeiro escrevemos a elipse na forma canônica. Dividindo ambos os lados de
b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
por a^2b^2, obtemos
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Dessa forma, isolamos y:
y = pm ba,raiza^2 - x^2,
onde o sinal + é o ramo superior e o sinal - o ramo inferior da elipse.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo y, cada casca tem:
– raio =!x,
– espessura dx,
– altura =;ysuperior - yinferior = dfracbaraiza^2-x^2 - l(-dfracbaraiza^2-x^2r) = dfrac2baraiza^2-x^2

Passo 4

O volume total é a integral de todas as cascas de x=0 até x=a:
V = integral0^a 2pi,x ;l(tfrac2baraiza^2-x^2r),dx = 4pi ba integral0^a xraiza^2-x^2;dx

Passo 5

Fazendo a substituição u = a^2-x^2, temos du = -2x,dx e x,dx = -tfrac12,du. Então
integral0^a xraiza^2-x^2;dx = -tfrac12 integralu=a^2^u=0 u^1/2,du = -tfrac12 gl[tfrac23u^3/2gr]a^2^0 = a^33
Logo,
V = 4pi ba cdot a^33 = 4pi a^2 b3

Resposta

V = 4pi a^2b3

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