Use the shell method to find the volume enclosed by the surface obtained by revolving the ellipse
about the
-axis.
Passo 1
O enunciado pede o volume gerado pela revolução da elipse
ao redor do eixo
. O conteúdo é o método das cascas cilíndricas, em que cada casca de raio
, altura dada por
e espessura
gera um volume elementar
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a elipse na forma canônica. Dividindo ambos os lados de
por
, obtemos
Dessa forma, isolamos
:
onde o sinal
é o ramo superior e o sinal
o ramo inferior da elipse.
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, cada casca tem:
– raio ,
– espessura ,
– altura
– raio
– espessura
– altura
Passo 4
O volume total é a integral de todas as cascas de
até
:
Passo 5
Fazendo a substituição
, temos
e
. Então
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