Um fio de 91 g é mantido sob uma tensão de 285 N com uma extremidade em x=0 e a outra em x=13,7 \mathrm{~m}. No instante t=0 \mathrm{um} pulso começa a se propagar em x=0. No instante t=22,6 \mathrm{~ms} outro pulso começa a se propagar a partir de x=13,7 \mathrm{~m}. Em que ponto x (em metros) os pulsos se encontram?
(a) 6,73
(b) 7,50
(c) 8,21
(d) 9,19
(e) 10,15
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede onde os pulsos se encontram:
massa do fio: \,m=0{,}091\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado: 91\\ \mathrm{g}=0{,}091\\ \mathrm{kg}).
tensão no fio: \,T=285\\ \mathrm{N}.
comprimento do fio (posição das extremidades): de x=0 até x=13{,}7\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
um pulso parte de x=0 no instante \,t=0.
outro pulso parte de x=13{,}7\\ \mathrm{m} no instante \,t=22{,}6\\ \mathrm{ms}=0{,}0226\\ \mathrm{s} (peguei do enunciado).
O que se pede: determinar o valor de x (em metros) onde os dois pulsos se encontram.
Passo 2
Definir a velocidade de propagação das ondas no fio e calcular a massa por unidade de comprimento:
A massa linear (densidade linear) do fio é a massa dividida pelo comprimento:
\mu=\frac{m}{L}.
Aqui m é a massa do fio em quilogramas e L é o comprimento em metros; \mu tem unidade \mathrm{kg/m}.
Substituindo:
Explicação curta: \mu diz quantos quilogramas de fio existem por metro; é importante porque a velocidade das ondas depende de quanto “peso” há por comprimento.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação v do pulso no fio:
Para uma corda tensa com tensão T e densidade linear \mu, a velocidade das ondas transversais é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui T em newtons e \mu em \mathrm{kg/m} dão v em \mathrm{m/s}.
Substituindo os valores:
Comentário: fiz a conta passo a passo para não depender de arredondamentos grosseiros; esse valor significa que cada pulso percorre cerca de 207{,}14\\ \mathrm{m} a cada segundo.
Passo 4
Descrever as posições temporais dos pulsos e montar a equação do encontro:
Seja t o instante (em segundos) contado desde t=0 quando ambos já estejam em movimento (mais adiante veremos o valor do t do encontro).
A posição do pulso que parte de x=0 (pulso esquerdo) é
x_{\text{E}}(t)=v\,t,
válida para t\ge0.
O pulso da direita parte em \,t=\tau com \tau=0{,}0226\\ \mathrm{s}. Para t<\tau ele ainda não existe; para t\ge\tau a posição do pulso que parte de x=L=13{,}7\\ \mathrm{m} movendo-se para a esquerda é
x_{\text{D}}(t)=L - v\,(t-\tau).
Os pulsos se encontram quando x_{\text{E}}(t)=x_{\text{D}}(t). Portanto:
v\,t = L - v\,(t-\tau).
Explicação física: o pulso da direita só começa depois de \tau, então até esse instante só o da esquerda avança; o encontro ocorrerá em algum t maior que \tau.
Passo 5
Resolver a equação para t e encontrar x:
Igualando e resolvendo:
v\,t = L - v\,t + v\,\tau
2v\,t = L + v\,\tau
t = \frac{L}{2v} + \frac{\tau}{2}.
A posição x do encontro é x=x_{\text{E}}(t)=v\,t. Substituindo t:
x = v\!\left(\frac{L}{2v} + \frac{\tau}{2}\right)=\frac{L}{2} + \frac{v\,\tau}{2}.
Interpretação simples: se os dois pulsos partissem ao mesmo tempo, encontrariam no meio \frac{L}{2}. Mas como o pulso direito saiu atrasado, o ponto de encontro se desloca na direção do lado direito por uma quantidade \frac{v\tau}{2}.
Passo 6
Fazer os cálculos numéricos finais e escolher a alternativa:
Já temos L=13{,}7\\ \mathrm{m}, \tau=0{,}0226\\ \mathrm{s} e v\approx207{,}14\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais seguindo as alternativas dadas, isso corresponde a \,9{,}19\\ \mathrm{m}? — atenção: percebi que meus dois últimos valores diferem levemente por causa de arredondamento inicial de v. Vamos recomputar de forma exata com os números racionais: usando \mu=91/13700 e a expressão direta
Comparando com as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima é \,9{,}19\\ \mathrm{m} da alternativa (d). (A pequena diferença se deve a arredondamentos intermediários; considerando os dados fornecidos com três algarismos significativos, a opção (d) é a correta dentro das alternativas.)
Força final — você já está mandando bem, apesar do nervosismo: é só aplicar as fórmulas com calma e organizar as contas como fizemos.