Uma partícula de massa m está sujeita a uma força \vec{F}=-m \omega^{2}(y \hat{i}+x \hat{j}), sendo \omega uma constante positiva.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçöes diferenciais acoplado.
c) Resolva o sistema considerando \vec{r}(0)=r_{0}(\hat{i}+\bar{j}) e \vec{v}(0)=v_{0}(\hat{i}-\hat{j}).

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita a uma força
\vec{F} = -m\,\omega^{2}(y\,\hat{i} + x\,\hat{j}),
onde \omega é constante positiva. Precisamos (a) encontrar a energia potencial U(x,y) cuja força derivou, (b) escrever o sistema de equações diferenciais acoplado pela segunda lei de Newton, e (c) resolver esse sistema com as condições iniciais \vec{r}(0)=r_{0}(\hat{i}+\hat{j}) e \vec{v}(0)=v_{0}(\hat{i}-\hat{j}).

Passo 2

Para obter a energia potencial usamos a relação \vec{F}=-\nabla U. Em coordenadas cartesianas isso equivale a
\frac{\partial U}{\partial x} = -F_{x} = m\,\omega^{2}\,y, \qquad \frac{\partial U}{\partial y} = -F_{y} = m\,\omega^{2}\,x.
Integrando a primeira em x (mantendo y fixo) dá
U(x,y)=m\,\omega^{2}\,x\,y + g(y),
onde g(y) é função de y só. Diferenciando isso em relação a y e igualando a segunda condição,
\frac{\partial U}{\partial y}=m\,\omega^{2}\,x + g'(y)\overset{!}{=}m\,\omega^{2}\,x \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0
logo g é constante. Escolhendo U(0,0)=0, concluímos
\boxed{U(x,y)=m\,\omega^{2}\,x\,y.}

Passo 3

Pela segunda lei de Newton \,m\,\ddot{\vec r}=\vec F, temos
m\,\ddot x = -m\,\omega^{2}\,y, \qquad m\,\ddot y = -m\,\omega^{2}\,x.
Cancelando m, o sistema acoplado fica
\boxed{\ddot x + \omega^{2}\,y = 0, \quad \ddot y + \omega^{2}\,x = 0.}

Passo 4

Para resolver esse sistema, definimos as combinações
u = x + y, \qquad v = x - y.
Então
u'' = \ddot x + \ddot y = -\omega^{2}(y + x) = -\omega^{2}\,u,
v'' = \ddot x - \ddot y = -\omega^{2}\,y + \omega^{2}\,x = \omega^{2}\,v.
Assim u e v satisfazem equações independentes
u'' + \omega^{2}\,u = 0, \qquad v'' - \omega^{2}\,v = 0.

Passo 5

As soluções gerais são
u(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
v(t) = C\,e^{\omega t} + D\,e^{-\omega t}.
Agora aplicamos as condições iniciais: em t=0,
x(0)=r_{0},\;y(0)=r_{0} \quad\Rightarrow\quad u(0)=2r_{0},\;v(0)=0,
\dot x(0)=v_{0},\;\dot y(0)=-v_{0} \quad\Rightarrow\quad u'(0)=0,\;v'(0)=2v_{0}.
De u(0)=2r_{0},\,u'(0)=0 segue A=2r_{0} e B=0, logo
u(t)=2r_{0}\cos(\omega t).
De v(0)=0 temos C+D=0, e de v'(0)=\omega(C-D)=2v_{0} vem C=v_{0}/\omega, D=-v_{0}/\omega, logo
v(t)=\frac{v_{0}}{\omega}\bigl(e^{\omega t}-e^{-\omega t}\bigr) =\frac{2v_{0}}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t).

Passo 6

Voltando a x e y:
x = \frac{u+v}{2} = r_{0}\cos(\omega t) + \frac{v_{0}}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t),
y = \frac{u-v}{2} = r_{0}\cos(\omega t) - \frac{v_{0}}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t).

Resposta

a) \displaystyle U(x,y)=m\,\omega^{2}\,x\,y.
b) \displaystyle \ddot x + \omega^{2}\,y = 0,\quad \ddot y + \omega^{2}\,x = 0.
c) x(t)=r_{0}\cos(\omega t)+\frac{v_{0}}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t), \qquad y(t)=r_{0}\cos(\omega t)-\frac{v_{0}}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t).

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