Uma partícula de massa
está sujeita a uma força
, sendo
uma constante positiva.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçöes diferenciais acoplado.
c) Resolva o sistema considerando
e
.
a) Encontre a energia potencial da partícula.
b) Pela segunda lei de Newton, encontre um sistema de equaçöes diferenciais acoplado.
c) Resolva o sistema considerando
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita a uma força
onde
é constante positiva. Precisamos (a) encontrar a energia potencial
cuja força derivou, (b) escrever o sistema de equações diferenciais acoplado pela segunda lei de Newton, e (c) resolver esse sistema com as condições iniciais
e
.
Passo 2
Para obter a energia potencial usamos a relação
. Em coordenadas cartesianas isso equivale a
Integrando a primeira em
(mantendo
fixo) dá
onde
é função de
só. Diferenciando isso em relação a
e igualando a segunda condição,
logo
é constante. Escolhendo
, concluímos
Passo 3
Pela segunda lei de Newton
, temos
Cancelando
, o sistema acoplado fica
Passo 4
Para resolver esse sistema, definimos as combinações
Então
Assim
e
satisfazem equações independentes
Passo 5
As soluções gerais são
Agora aplicamos as condições iniciais: em
,
De
segue
e
, logo
De
temos
, e de
vem
,
, logo
Passo 6
Voltando a
e
:
Resposta
a)
b)
c)