Questão 03. Mediante 1,00 \mathrm{~atm} de pressão, o Hélio entra em ebulição a -268,93^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} calor de vaporização é de 84 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}. Qual o tamanho do motor (cv), em cavalo-vapor, que é necessário para fazer funcionar um refrigerador que precisa transformar 2,00 mols de gás hélio a 4,216 \mathrm{~K} em hélio líquido a 4,216 \mathrm{~K} em um minuto. Assuma que a
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temperatura ambiente é 300,00 \mathrm{~K} e que a eficiência do refrigerador é 50 \% do máximo possível. (Dado: 1cv =746 \mathrm{~W} )

Passo 1

O enunciado pede o tamanho do motor (em cavalo-vapor) necessário para acionar um refrigerador que, em 60 s, deve liquefazer 2{,}00 mol de hélio à temperatura de ebulição \,4{,}216 K. Sabemos a pressão é 1{,}00 atm, a entalpia de vaporização é \Delta H_{\mathrm{vap}}=84 J\cdot mo l^{-} ^{1}, a temperatura ambiente (reservatório quente) é 300{,}00 K e a eficiência do refrigerador é 50\% do máximo de Carnot. Vamos usar:
Q_L=n\,\Delta H_{\mathrm{vap}} para o calor retirado do frio;
\mathrm{COP}_{\max}=\dfrac{T_L}{T_H-T_L} para o coeficiente de desempenho de Carnot;
\mathrm{COP}_{\mathrm{real}}=0{,}50\,\mathrm{COP}_{\max};
– Potência e trabalho relacionados por W = \dfrac{Q_L}{\mathrm{COP}_{\mathrm{real}}};
– Conversão 1\text{ cv}=746 W.

Passo 2

Calcular o calor extraído do reservatório frio em 60 s:
Q_L = n\,\Delta H_{\mathrm{vap}} = 2{,}00\;\mathrm{mol}\times 84\;\mathrm{J\cdotmol}^{-1} =168\;\mathrm{J}.
A taxa de extração de calor é
\dot{Q}_L=\frac{168\;\mathrm{J}}{60\;\mathrm{s}}=2{,}8\;\mathrm{W}.

Passo 3

Determinar o COP de Carnot entre T_L=4{,}216 K e T_H=300{,}00 K:
\mathrm{COP}_{\max} =\frac{T_L}{T_H-T_L} =\frac{4{,}216}{300{,}00-4{,}216} \approx0{,}01425.

Passo 4

A eficiência real é 50\% desse valor:
\mathrm{COP}_{\mathrm{real}} =0{,}50\times0{,}01425 =0{,}007125.

Passo 5

Calcular a potência de entrada (trabalho por segundo) necessária:
\dot{W} =\frac{\dot{Q}_L}{\mathrm{COP}_{\mathrm{real}}} =\frac{2{,}8\;\mathrm{W}}{0{,}007125} \approx393\;\mathrm{W}.

Passo 6

Converter para cavalo-vapor sabendo que 1 cv =746 W:
\text{Potência (cv)} =\frac{393\;\mathrm{W}}{746\;\mathrm{W\cdotcv}^{-1}} \approx0{,}53\;\mathrm{cv}.

Resposta

O motor deve ter aproximadamente 0{,}53 cv.

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