Um fio de cobre tem um raio igual a r, uma resistência R e comprimento L. Se o raio do fio for duplicado e o comprimento reduzido à metade, o novo valor da resistência vale?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de cobre com raio r, resistência R e comprimento L. A questão está pedindo para descobrir qual será a nova resistência se a gente dobrar o raio do fio e reduzir o comprimento pela metade. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da resistência elétrica e entender como o raio e o comprimento do fio afetam essa resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a resistência elétrica ( R) de um fio com suas características físicas. A fórmula é:
R = rho LA
Aqui, rho é a resistividade do material (no caso, cobre), L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Agora, vamos analisar como as mudanças no raio e no comprimento do fio afetam a resistência. Se o raio do fio é dobrado, o novo raio será 2r. A área da seção transversal, que é pi r^2, vai mudar. Vamos calcular a nova área:
Anovo = pi (2r)^2 = pi times 4r^2 = 4pi r^2
Ou seja, a área da seção transversal quadruplica.
Também, o comprimento do fio é reduzido à metade, então o novo comprimento será L2.

Passo 4

Vamos agora aplicar esses novos valores na fórmula da resistência:
Rnova = rho L24pi r^2
Simplificando a expressão:
Rnova = rho L2 times 4pi r^2 = rho L8pi r^2
Sabemos que a resistência original R é:
R = rho Lpi r^2

Passo 5

Agora, vamos relacionar a nova resistência Rnova com a resistência original R:
Rnova = R8
Isso significa que a nova resistência é um oitavo da resistência original.

Resposta

A nova resistência do fio é dfracR8.

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