Um fio de comprimento finito L está carregado com densidade linear de carga uniforme lambda.
Calcule o potencial elétrico num ponto P a uma distância d na extremidade direita do fio.
Dica: Seção 24.9

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um fio reto de tamanho com carga distribuída uniformemente (densidade ). Queremos achar o potencial elétrico num ponto que fica a uma distância da extremidade direita do fio. O conteúdo aqui é potência elétrica gerada por uma distribuição contínua de carga, e vamos usar:
  • A definição de potencial elétrico .
  • A densidade linear .
  • A constante .

Passo 2

Primeiro a gente escolhe um sistema de coordenadas. Vamos colocar o fio sobre o eixo indo de (extremidade esquerda) até (extremidade direita). O ponto fica em . Agora, dividimos o fio em “pedaços” de comprimento infinitesimal , cada pedacinho com carga .

Passo 3

O potencial elétrico gerado por um pedacinho dV = 14pivarepsilon0,dqr num ponto é
onde é a distância entre o pedaço de fio (na posição ) e o ponto . Aqui .

Passo 4

Substituindo dV = 14pivarepsilon0,lambda,dx,L + d - x, e V = integral0^L dV = lambda4pivarepsilon0 integral0^L dx,L + d - x, na expressão:
Para achar o potencial total, integramos de até :

Passo 5

Agora calculamos a integral. Fazendo a troca de variável integral0^L dxL + d - x = integralu=L+d^,d -duu = integrald^,L+d duu = ln!l(L+dr) - ln d = ln!gl(L + ddgr) , temos . Quando , ; quando , . Então:

Resposta

boxed% V(P) = lambda4pivarepsilon0,ln!gl(L + ddgr)

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