Um fio condutor de comprimento infinito transporta uma corrente de 15 m A no sentido +\overrightarrow{a z} no ponto (4,3,0). Determine \vec{B} em (0,0,0). (2,5 \mathrm{pt})

Passo 1

O enunciado diz que temos um fio condutor infinito, paralelo ao eixo z, que passa pelo ponto (4,3,0) e transporta uma corrente de I=15\text{ mA} no sentido +\overrightarrow{a_z}. Pede-se o campo magnético \vec B no ponto (0,0,0). O conteúdo envolvido é magnetostática para fio retilíneo infinito, onde se usa a Lei de Ampère (ou o resultado da Lei de Biot–Savart) para achar
\vec B(\rho)=\frac{\mu_0 I}{2\pi\,\rho}\,\hat a_\varphi,
sendo \rho a distância perpendicular do fio ao ponto e \hat a_\varphi o versor azimutal, dado pela regra da mão direita.

Passo 2

Primeiro, determinamos a posição relativa no plano xy. Do fio (eixo em x=4,y=3) até o ponto (0,0) o vetor posição é
\vec r = (0-4)\,\hat a_x + (0-3)\,\hat a_y = -4\,\hat a_x \;-\;3\,\hat a_y.
A distância perpendicular é
\rho = \|\vec r\| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = 5.

Passo 3

A magnitude do campo magnético, pelo resultado padrão para fio longo, é
B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,\rho} \quad\text{com}\quad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\,\text{T\cdotm/A}, \quad I = 15\times 10^{-3}\,\text{A}, \quad \rho = 5\,\text{m}.
Logo,
B = \frac{4\pi\times 10^{-7}\cdot 15\times 10^{-3}}{2\pi\cdot 5} = \frac{6\pi\times 10^{-9}}{10\pi} = 6{,}0\times 10^{-10}\,\text{T}.

Passo 4

Agora achamos a direção \hat a_\varphi. Se \theta é o ângulo do vetor \vec r em relação a x, temos
\cos\theta = \frac{-4}{5},\quad \sin\theta=\frac{-3}{5}.
O versor azimutal é
\hat a_\varphi = -\sin\theta\,\hat a_x + \cos\theta\,\hat a_y = -\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr)\hat a_x + \Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr)\hat a_y = \tfrac{3}{5}\,\hat a_x \;-\;\tfrac{4}{5}\,\hat a_y.

Passo 5

Portanto o campo magnético no ponto (0,0,0) é
\vec B = B\,\hat a_\varphi = 6{,}0\times 10^{-10}\,\bigl(\tfrac{3}{5}\,\hat a_x - \tfrac{4}{5}\,\hat a_y\bigr)\,\text{T}.

Resposta

\vec B(0,0,0) = 6{,}0\times 10^{-10}\,\bigl(\tfrac{3}{5}\,\hat a_x - \tfrac{4}{5}\,\hat a_y\bigr)\,\text{T}.

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