Um fio de uma dada liga metálica com 120 cm de comprimento e diâmetro de base de 4 mm , esta submetido a uma ddp de 20 mV , quando esse está a 49^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de temperatura da resistividade ( \alpha ) dessa liga é de 4,3 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, determine o número de elétrons que poderia passar por esse fio em 10 min , tendo em conta somente a sua resistência. É dada a resistividade elétrica da liga a 21^{0} \mathrm{C} igual a 3 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m}. (2 pontos).

Passo 1

O enunciado dá um fio metálico de comprimento L=1{,}20\\ \mathrm{m} e diâmetro d=4{,}0\\ \mathrm{mm}, sujeito a uma d.d.p. de V=20\\ \mathrm{mV} quando sua temperatura é T=49\\ ^\circ\mathrm{C}. A resistividade da liga a T_0=21\\ ^\circ\mathrm{C} é \rho_0=3{,}0\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} e o coeficiente de temperatura é \alpha=4{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}. Queremos o número de elétrons que passam em t=10\\ \text{min}, considerando apenas a resistência elétrica do fio. Para isso, vamos precisar de:
1. Calcular a resistividade \rho(T) à nova temperatura.
2. Encontrar a resistência R do fio usando \displaystyle R=\frac{\rho\,L}{A}.
3. Calcular a corrente I via \displaystyle I=\frac{V}{R}.
4. Determinar a carga total Q=I\,t.
5. Obter o número de elétrons N=\frac{Q}{e}, com e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Calcular a resistividade à T=49\\ ^\circ\mathrm{C}. A variação de temperatura é
\Delta T = 49 - 21 = 28\\ \mathrm{K}.
A resistividade ajustada é
\rho = \rho_0\bigl[1 + \alpha\,\Delta T\bigr] = 3{,}0\times10^{-8}\,\bigl[1 + 4{,}3\times10^{-3}\times28\bigr] = 3{,}0\times10^{-8}\times1{,}1204 = 3{,}3612\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a área da secção transversal
A = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 = \pi\,(2{,}0\times10^{-3})^2 = 1{,}2566\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Então a resistência do fio é
R = \frac{\rho\,L}{A} = \frac{3{,}3612\times10^{-8}\times1{,}20}{1{,}2566\times10^{-5}} \approx 3{,}21\times10^{-3}\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente elétrica
I = \frac{V}{R} = \frac{0{,}020\\ \mathrm{V}}{3{,}21\times10^{-3}\\ \Omega} \approx 6{,}23\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Determinar a carga total que passa em t=10\\ \text{min} ( 600\\ \text{s}):
Q = I\,t = 6{,}23\\ \mathrm{A}\times600\\ \mathrm{s} = 3{,}738\times10^3\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o número de elétrons
N = \frac{Q}{e} = \frac{3{,}738\times10^3}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 2{,}33\times10^{22}.

Resposta

O número de elétrons que passa pelo fio em 10\\ \text{min} é aproximadamente 2{,}3\times10^{22}.

Exercícios relacionados