Um fio leve conecta dois objetos, de massas e , de tal modo que o de massa permanece em equilíbrio enquanto o de massa faz um movimento circular uniforme num plano horizontal como ilustrado.
Denote por o comprimento do fio que gira.
a. Faça o diagrama de corpo livre e escreva vetorialmente a segunda lei de Newton para cada objeto.
b. Escreva matematicamente a condição de movimento de cada objeto, especifique os eixos convenientes para cada um deles e decomponha as equações do item .
c. Escreva a expressão para a resultante centrípeta no objeto girante em termos dos dados.
d. Determine a velocidade angular do objeto girante em função dos dados.
e. Determine o ângulo , como indicado na figura, em função das massas e . Em que limite tenderá a ?
f. Determine o período de rotação do objeto girante em termos de e .
g. Se o objeto de massa estiver balançando, que ingrediente dos seus cálculos seria alterado?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema onde um fio leve, sem atrito num suporte (anel ou furo), liga duas massas: de um lado a massa m faz movimento circular uniforme num plano horizontal, sustentada pelo fio que faz um ângulo θ com a vertical e tem comprimento l; do outro lado a massa M permanece em equilíbrio vertical. O conteúdo principal é dinâmica de partículas (Lei de Newton) aplicada a um pêndulo cônico inverso, e precisaremos usar a decomposição de forças em eixos vertical e radial e as condições de equilíbrio e de movimento circular.
Passo 2
Para cada massa, desenhamos o diagrama de corpo livre e escrevemos \Lei de Newton vetorialmente:
Massa m: a única força é a tensão T ao longo do fio (direção do fio) e o peso m g para baixo. Aplicando .
Massa M: forças são a tensão T para cima e o peso M g para baixo. Como M está em equilíbrio, a aceleração é nula e .
Passo 3
Escolhemos eixos convenientes:
Para m: eixo vertical (y) e eixo radial horizontal ® apontando para o centro do círculo.
Para M: eixo vertical.
Decompomos as equações:
Para m:
onde \r = l \sin\theta.
Para M:
T - M g = 0
Passo 4
A resultante centrípeta que atua sobre m é a componente horizontal da tensão:
Fc = Tsintheta
Passo 5
Da equação de equilíbrio de M, \T = M g. Substituindo na eq. radial de m e usando \r = l \sin\theta, temos:
M gsintheta = m dfracv^2lsintheta
Logo
v^2 = M g,lsin^2thetam
A velocidade angular omega = v/r fica:
omega = vlsintheta = raizM gm l
Passo 6
Para encontrar θ, usamos a eq. vertical em m com \T = M g:
M gcostheta = m g
Portanto
costheta = mM Rightarrow theta = arccosl(tfracmMr)
Quando m/M to 0, temos \\cos\theta \to 0\ e \θ \to 90^\circ\.
Passo 7
O período de rotação é
Trm rot = 2piomega = 2pi raizm lM g
Passo 8
Se a massa M não estivesse em equilíbrio mas balançando, sua equação de equilíbrio vertical (\T = M g\) seria alterada: teríamos que incluir a aceleração de M, e a tensão T deixaria de ser constante igual a M g, mudando todo o balanço de forças.
Resposta
a) FBD de m: peso m g (baixo) e Tensão T (ao longo do fio). FBD de M: peso M g (para baixo) e tensão T (para cima). Vetorialmente: para m, vec F = mvec a; para M, vec F=0.
b) Escolhendo eixos vertical e radial para m, e vertical para M:
m: Tcostheta - m g =0, Tsintheta = m v^2/(lsintheta);
M: T - M g =0.
c) Fc=Tsintheta.
d) omega=raizM g/(m l).
e) costheta=m/M, logo theta=arccos(m/M); quando m/Mto0, thetato90^circ.
f) Trm rot=2piraizm l/(M g).
g) A condição de equilíbrio de M (\T=M g\) deixaria de valer, alterando a tensão T.