Um fio não-uniforme de comprimento Le massa
tem densidade linear de massa
, onde
é a distância a uma extremidade do fio e
uma constante. (a) mostre que
. (b) Mostre que o tempo
necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é
, onde F é a tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre um fio não-uniforme com comprimento $ L $ e massa total $ M $. A densidade linear de massa desse fio é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância de uma das extremidades e $ k $ é uma constante. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais, para encontrar a massa total e o tempo que um pulso leva para viajar pelo fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de massa $ \mu = kx $. Isso quer dizer que a quantidade de massa por unidade de comprimento varia de acordo com a posição $ x $. Para achar a massa total $ M $ do fio, precisamos somar todas essas pequenas massas ao longo do comprimento do fio, ou seja, integrar $ \mu $ de 0 até $ L $.
Passo 3
A massa total $ M $ é dada pela integral da densidade linear de massa:
Aqui, estamos somando todas as pequenas massas $ \mu , dx $ de $ x = 0 $ até $ x = L $.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então, mostramos que $ M = \frac{k L^{2}}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o tempo $ t $ que um pulso leva para ir de uma extremidade do fio até a outra. Para isso, usamos a fórmula da velocidade de propagação de ondas em fios, que depende da tensão $ F $ no fio e da densidade linear de massa $ \mu $:
Mas, como $ \mu = kx $, a densidade não é constante. Portanto, precisamos considerar que a velocidade $ v $ varia com $ x $.
Passo 6
O tempo $ t $ para o pulso percorrer o fio é a integral do inverso da velocidade ao longo do comprimento do fio:
Simplificando a expressão dentro da integral.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Passo 8
Substituindo $ k $ da parte (a). Sabemos que $ M = \frac{k L^{2}}{2} $, então $ k = \frac{2M}{L^{2}} $. Vamos substituir isso na expressão de $ t $:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
O tempo necessário para que um pulso gerado em uma extremidade do fio chegue à outra é $ t = \sqrt{ \frac{8 M L}{9 F} } $.