Um fio não-uniforme de comprimento Le massa M tem densidade linear de massa mu=k x, onde x é a distância a uma extremidade do fio e k uma constante. (a) mostre que M=k L^2 / 2. (b) Mostre que o tempo t necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é t=raiz8 M L / 9 F, onde F é a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre um fio não-uniforme com comprimento $ L $ e massa total $ M $. A densidade linear de massa desse fio é dada por $ \mu = kx $, onde $ x $ é a distância de uma das extremidades e $ k $ é uma constante. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais, para encontrar a massa total e o tempo que um pulso leva para viajar pelo fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a densidade linear de massa $ \mu = kx $. Isso quer dizer que a quantidade de massa por unidade de comprimento varia de acordo com a posição $ x $. Para achar a massa total $ M $ do fio, precisamos somar todas essas pequenas massas ao longo do comprimento do fio, ou seja, integrar $ \mu $ de 0 até $ L $.

Passo 3

A massa total $ M $ é dada pela integral da densidade linear de massa:
M
Aqui, estamos somando todas as pequenas massas $ \mu , dx $ de $ x = 0 $ até $ x = L $.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
M = k integral0^L x , dx = k [ x^22 ]0^L = k ( L^22 - 0 ) = k L^22
Então, mostramos que $ M = \frac{k L^{2}}{2} $.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o tempo $ t $ que um pulso leva para ir de uma extremidade do fio até a outra. Para isso, usamos a fórmula da velocidade de propagação de ondas em fios, que depende da tensão $ F $ no fio e da densidade linear de massa $ \mu $:
t
Mas, como $ \mu = kx $, a densidade não é constante. Portanto, precisamos considerar que a velocidade $ v $ varia com $ x $.

Passo 6

O tempo $ t $ para o pulso percorrer o fio é a integral do inverso da velocidade ao longo do comprimento do fio:
t
Simplificando a expressão dentro da integral.

Passo 7

Vamos resolver a integral:
t = raizkF integral0^L raizx , dx = raizkF [ 23 x^32 ]0^L = raizkF cdot 23 L^32

Passo 8

Substituindo $ k $ da parte (a). Sabemos que $ M = \frac{k L^{2}}{2} $, então $ k = \frac{2M}{L^{2}} $. Vamos substituir isso na expressão de $ t $:
k

Passo 9

Simplificando a expressão:
t = 23 raiz2MF L^2 cdot L^32 = 23 raiz2M L^3F L^2 = 23 raiz2M LF = raiz8 M L9 F

Resposta

O tempo necessário para que um pulso gerado em uma extremidade do fio chegue à outra é $ t = \sqrt{ \frac{8 M L}{9 F} } $.

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